１から１０までの合計を計算する方法

　「博士の愛した数式 (新潮文庫)」の中で、博士がルート（家政婦の息子）に１から１０の合計を計算する方法を宿題として出す場面がある。ルートは、単純に１から１０までの数を足して、５５と回答する。
　すると、博士は、その方法と違ったやり方で導く方法を考えるようルートに再度宿題を出す。
　もちろん、ルートは遊びの方がたのしいし、じっとそれを考えることなどしない。主人公であるわたし（家政婦）がその問題に真剣に取り組んでいくことになる。主人公のわたしは、寝ても覚めても１から１０までの足し算方法を考えることに没頭していく。
　ある日、遊びから帰ってきたルートがいった一言が、考えているわたしにヒントを与えてくれる。
「１から１０までの中で、１０だけちょっと、のけ者なんだよね」
「どうして？」
「だって、１０だけ、二桁じゃないか」
「１０さえいなかったら、真ん中の位置がぴたっと決まって、気持ちいいのに」
　そして、主人公のわたしは、１から９の平均値が５であることに気づく。導かれた式は次の通り。

　実は、１から１０の平均値を求めて掛け算した結果も同じになる。

　これは、等差数列の場合、初めの数値と最後の数値を足して２で割ったものが平均値なるという公式があり、それを利用したもの。この公式は簡単に導ける。
　例えば、１から１０までの数値を考えると、

　この式を、少し入れ替えて、

とする。そして上の式と下の式を足すと、

となる。合計の２倍になっているので単純に２で割ると５５となる。
従って、一般式、

の公式は、

となる。
　実は、中学１年生の頃、公式を求める方法や図形の証明に、はまった時期があった。当時の中学校の教室には、必ず前と後ろに黒板があって、そのうち、後ろの黒板は、生徒がある程度自由に使うことが許されていた。
　今では、だれがはじめたのか思い出せないが、黒板の片隅に数学の証明問題が掲示されたのがきっかけとなって、だれかれとなく、自分が解けた問題をその黒板に出題するようになった。
　懸賞などは、なかったと思うが、誰がその問題を先に解くかに夢中になったものだ。自分が出題した問題がいともあっさり解かれれば、がっかりするし、何日もそのままだと優越感に浸れる。
　ただ、単純な遊びだった気がする。