等比数列と等差数列
E.オマール著「不思議な数eの物語」より引用。
例えば、数列1,2,4,8,18,・・・は公比2の等比数列である。公比をqと書き、1から始めれば、数列の各項は等々(第n項は)となる。ネーピアの時代のはるか以前から、等比数列の各項と対応する公比の指数との間に簡単な関係が存在することは知られていた。ドイツの数学者ミハエル・シュティーフェル(Michael Stifel,1487-1567)は、自分の本Arithetica integra(算術大系,1544)の中で、この関係を次のような形で述べている:数列の2項を掛けると、結果は対応する指数を足すのと同じになる。例えば、であり、指数2と3を足せば結果が得られる。同様に、等比数列の1つの項をもうひとつの項で割る割り算は、指数の引き算に等価である:。こうして単純な法則およびが得られる。
しかし、のように分母の指数の方が分子の指数より大きいときに問題が起こる。先ほどの法則によればということになるが、この式はまだ定義されていない。この困難をくぐり抜けるため、はであると定義する。そうすればであり、をで直接割って得られる結果と一致する(のときにも法則が成り立つようにと定義しなければならないことに注意)。これらの定義を覚えておけば、両方向にどこまでも広がる等比数列が得られる。各項は公比qの累乗であること、指数は等差数列(等差数列では相次ぐ項の差が一定−この場合は1)であることが分かる。
この関係が対数の背後にあると著者は述べている。シュティーフェルが整数の場合しか考えなかったのに対して、ネーピアはそれを連続なものにまで拡張した。
この続きは明日。